Práctica 4: Descarga de un condensador

Circuitos RC · Física aplicada a la Biología

1Objetivo

Estudiar la variación en el tiempo de la carga de un condensador inicialmente cargado que está conectado a un circuito con una resistencia, en ausencia de alimentación externa. Como resultado, podremos determinar el tiempo característico de descarga del condensador, así como el valor de la resistencia del circuito.

2Fundamento teórico

Un condensador de capacidad \(C\) con carga inicial \(Q_0\) conectado a un circuito que además posee una resistencia \(R\), se irá descargando gradualmente a medida que pasa el tiempo, según la ecuación: \begin{equation} Q(t) = Q_0 \, e^{-t/\tau } \,,\label{qt} \end{equation} donde \(\tau \) es el tiempo característico de descarga del circuito, que cumple: \begin{equation} \tau = R C \,. \label{tau} \end{equation} La capacidad de un condensador se define como el cociente entre la carga que almacena y la diferencia de potencial entre sus placas, denotada por \(V\): \begin{equation} C = \frac{Q}{V} \,. \label{cap} \end{equation} Para un condensador dado, \(Q\) y \(V\) pueden tomar distintos valores a lo largo del tiempo. Sin embargo, su cociente siempre se mantiene constante, por lo que la capacidad de un condensador es una característica del mismo.

Así, a partir de la ecuación \(\eqref{cap}\), obtenemos que si la carga varía con el tiempo de la forma dada por la ecuación \(\eqref{qt}\), la diferencia de potencial también lo hará, de la forma: \begin{equation} V(t) = \frac{Q(t)}{C} = \frac{Q_0 \, e^{-t/\tau }}{C} = V_0 \, e^{-t/\tau }\,, \label{vt} \end{equation} donde \(V_0 = Q_0/C\).

Aunque estamos interesados en observar cómo varía la carga que almacena el condensador en función del tiempo, no es posible medirla. Sin embargo, lo que sí resulta sencillo es medir la diferencia de potencial entre sus placas. Como la carga y la diferencia de potencial son proporcionales, conocer la evolución del potencial en el tiempo nos permite conocer cómo es la evolución de la carga.

Por eso, en esta práctica trabajaremos con datos de diferencia de potencial, caracterizando su variación en el tiempo.

Midiendo los valores del voltaje entre las placas del condensador para distintos instantes de tiempo podremos obtener el valor del tiempo característico de descarga del circuito o constante de tiempo, \(\tau \), que es lo mismo que el valor del producto \(RC\) (ecuación \(\eqref{tau}\)).

En la ecuación \(\eqref{vt}\), la relación que existe entre el potencial en cada instante de tiempo \(V(t)\) y el tiempo no es lineal, sino que es una exponencial decreciente. Para que exista una relación lineal entre ambas que nos permita trabajar con los parámetros de la regresión, tomamos logaritmos neperianos: \begin{equation} {\rm Ln}\, V(t) = {\rm Ln}\, V_0 - \frac{t}{RC} \,. \end{equation} A partir de la recta de regresión podremos obtener el valor del producto \(RC\) o del tiempo característico del circuito. Por último, conociendo el valor de la capacidad del condensador \(C\), podemos calcular el valor de la resistencia del circuito, \(R\).

3Procedimiento

Antes de comenzar, se deben observar las siguientes indicaciones:

• El condensador debe cargarse con la fuente de alimentación externa de manera que la lectura del multímetro sea un valor alrededor de 10 V (entre 9.0 y 11.0 V).
• La polaridad (+ con +, − con −) en la conexión de la fuente de alimentación a los elementos del circuito debe ser la correcta. En el simulador ya está establecida.
• La fuente de alimentación estará apagada inicialmente. Para cargar el condensador, una vez seleccionado el voltaje, se pulsa el botón Cargar.
• En el laboratorio, el conector de tierra del multímetro (COM) se conectaría al borne − del condensador, y el que indica \((V/\Omega)\) al borne + del mismo. En el multímetro utilizado para la medida de diferencias de potencial habría que escoger la escala de trabajo “corriente continua, 20 V”.
• En el laboratorio, todos los dispositivos deben mantenerse apagados antes de realizar cualquier cambio de conexiones.

Para realizar la práctica en modo virtual, disponemos de un circuito como el de la Figura 1, en el que es posible introducir dos condensadores con capacidades distintas: 33 \(\mu\)F y 100 \(\mu\)F, que se seleccionan con los botones C₁ y C₂ del simulador.

Cuando el interruptor está en la posición (a), el condensador se conecta con la fuente de alimentación, de modo que se cargará hasta alcanzar una diferencia de potencial entre sus placas (cuya medida nos muestra el voltímetro) igual al valor que hemos seleccionado en el potenciómetro, si dejamos que se cargue completamente. El tiempo que tarda en cargarse es de unos pocos segundos. Una vez que está cargado, la diferencia de potencial que nos da el voltímetro permanece prácticamente constante. Tomamos ese valor como el potencial inicial \(V_0\).

Si movemos el interruptor a la posición (b) (lo hace automáticamente el simulador al pulsar Descargar), el condensador comienza a descargarse a través de la resistencia \(R\) y se pone en marcha automáticamente el cronómetro. Durante este proceso de descarga, mediremos los valores de la diferencia de potencial entre placas a intervalos regulares de tiempo. Realizaremos este proceso para los dos circuitos de que disponemos.

4Medidas

Se realizarán 30 medidas en el circuito con cada uno de los condensadores. La medida correspondiente a \(t = 0\) será en cualquiera de los casos \(V_0\). La medida se inicia justo en el momento en que se pulsa Descargar, momento en el cual comienza a correr automáticamente el cronómetro.

• Circuito de 100 \(\mu\)F: se tomarán valores de tiempo y de \(V(t)\) cada 10 segundos.
• Circuito de 33 \(\mu\)F: se tomarán valores de tiempo y de \(V(t)\) cada 5 segundos.
• Se recomienda anotar los valores de \(V(t)\) y \(t\) en una hoja aparte y, una vez finalizado, pasar esos datos a la tabla para su registro.
• Al anotar los valores en las tablas correspondientes, se generará la gráfica de evolución del voltaje en el tiempo.
• Tanto las tablas como las gráficas podrán descargarse para su uso en otras herramientas, como Microsoft Excel u otra hoja de cálculo. Estos datos formarán parte del informe elaborado por cada estudiante.

5Tratamiento de los datos

1. Con los datos obtenidos de \(V(t)\) y \(t\) para cada circuito, calculamos el logaritmo neperiano del potencial.
2. Realizamos la regresión lineal de \({\rm Ln}\, V(t)\) frente a \(t\), obteniendo el término independiente (\(A\)) y la pendiente (\(B\)).
3. Calcular, a partir de la pendiente de la recta (\(B\)), el valor de \(R\) para cada circuito, así como el tiempo característico de descarga para cada circuito.
4. Calcular la incertidumbre de la pendiente, \(\sigma _B\), y la del término independiente, \(\sigma _A\).
5. Calcular, a partir del término independiente (\(A\)), el valor de \(V_0\). Comparar este valor con el del potencial inicial \(V_0\).
6. Calcular el valor de la constante de tiempo \(R\cdot C\) y su incertidumbre: \begin{equation}\sigma_{RC} = \frac{\sigma_B}{B^2}.\end{equation}
7. Calcular la incertidumbre de la resistencia \(R\), que depende de la incertidumbre de la pendiente \(\sigma _B\) de la siguiente forma: \begin{equation} \sigma _R = \frac{\sigma _B}{C \cdot B^2} .\end{equation}
8. Calcular la incertidumbre del potencial inicial obtenido a partir del ajuste, \(V_0\), que depende de la incertidumbre del término independiente \(\sigma _A\) de la siguiente forma: \begin{equation} \sigma _{V_0} = e^A \cdot \sigma _A. \end{equation}
9. Sabiendo que las resistencias de los dos circuitos son iguales, calcular el valor medio.

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