Estudiar la variación en el tiempo de la carga de un condensador inicialmente cargado que está conectado a un circuito con una resistencia, en ausencia de alimentación externa. Como resultado, podremos determinar el tiempo característico de descarga del condensador, así como el valor de la resistencia del circuito.
Un condensador de capacidad \(C\) con carga inicial \(Q_0\) conectado a un circuito que además posee una resistencia \(R\), se irá descargando gradualmente a medida que pasa el tiempo, según la ecuación: \begin{equation} Q(t) = Q_0 \, e^{-t/\tau } \,,\label{qt} \end{equation} donde \(\tau \) es el tiempo característico de descarga del circuito, que cumple: \begin{equation} \tau = R C \,. \label{tau} \end{equation} La capacidad de un condensador se define como el cociente entre la carga que almacena y la diferencia de potencial entre sus placas, denotada por V: \begin{equation} C = \frac{Q}{V} \,. \label{cap} \end{equation} Para un condensador dado, Q y V pueden tomar distintos valores a lo largo del tiempo. Sin embargo, su cociente siempre se mantiene constante, por lo que la capacidad de un condensador es una característica del mismo.
Así, a partir de la ecuación (3), obtenemos que si la carga varía con el tiempo de la forma dada por la ecuación (1), la diferencia de potencial también lo hará, de la forma: \begin{equation} V(t) = \frac{Q(t)}{C} = \frac{Q_0 \, e^{-t/\tau }}{C} = V_0 \, e^{-t/\tau }\,, \label{vt} \end{equation} donde \(V_0 = Q_0/C\).
Aunque estamos interesados en observar cómo varía la carga que almacena el condensador en función del tiempo, no es posible medirla. Sin embargo, lo que sí resulta sencillo es medir la diferencia de potencial entre sus placas. Como la carga y la diferencia de potencial son proporcionales, conocer la evolución del potencial en el tiempo nos permite conocer cómo es la evolución de la carga.
Por eso, en esta práctica trabajaremos con datos de diferencia de potencial, caracterizando su variación en el tiempo.
Midiendo los valores del voltaje entre las placas del condensador para distintos instantes de tiempo podremos obtener el valor del tiempo característico de descarga del circuito o constante de tiempo, \(\tau \), que es lo mismo que el valor del producto RC (ecuación 2).
En la ecuación (4), la relación que existe entre el potencial en cada instante de tiempo \(V(t)\) y el tiempo no es lineal, sino que es una exponencial decreciente. Para que exista una relación lineal entre ambas que nos permita trabajar con los parámetros de la regresión, tomamos logaritmos neperianos: \begin{equation} \rm{Ln} V(t) = \rm{Ln}\, V_0 - \frac{t}{RC} \end{equation} A partir de la recta de regresión podremos obtener el valor del producto RC o del tiempo característico del circuito. Por último, conociendo el valor de la capacidad del condensador C, podemos calcular el valor de la resistencia del circuito, R.
Antes de comenzar, se deben observar las siguientes indicaciones:
Para realizar la práctica en modo virtual, disponemos de un circuito como el de la Figura 1, en el que es posible introducir dos condensadores con capacidades distintas: 33 \(\mu \)F y 100 \(\mu \)F. Para ello se dispone del botón Cambiar condensador.
Cuando el interruptor está en la posición (a), tal como se muestra en la Figura 1, el condensador se conecta con la fuente de alimentación, de modo que se cargará hasta alcanzar una diferencia de potencial entre sus placas (cuya medida nos muestra el voltímetro) igual al valor que hemos seleccionado en el potenciómetro si dejamos que se cargue completamente. El tiempo que tarda en cargarse es de unos pocos segundos. Una vez que está cargado, la diferencia de potencial que nos da el voltímetro permanece prácticamente constante. Tomamos ese valor como el potencial inicial \(V_0.\)
Si movemos el interruptor a la posición (b), tal como se muestra en la Figura 1,
(lo realiza automáticamente el simulador cuando activamos por segunda vez el botón Cargar/Descargar/Reiniciar), el condensador comienza a
descargarse a través de la resistencia R activándose automáticamente el cronómetro. Durante este proceso de descarga, mediremos
los valores de la diferencia de potencial entre placas a intervalos regulares de
tiempo. Realizaremos este proceso para los dos circuitos de que disponemos.
Se realizarán 30 medidas en el circuito con cada uno de los condensadores. La medida correspondiente a \(t = 0\) será en cualquiera de los casos \(V_0\). La medida se inicia justo en el momento en que se activa por segunda vez el botón Encender/Apagar/Reiniciar, momento en el cual automáticamente comienza a correr el cronómetro.